Problema

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Evaluar $\displaystyle\int_0^1(\displaystyle\sqrt[3]{1-x^7}-\sqrt[7]{1-x^3})dx$

Autor Tema: Evaluar el integral.  (Leído 905 veces)

heuibeomlee

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Evaluar el integral.
« : octubre 21, 2009, 08:40:44 pm »
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buda

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Re:Evaluar el integral.
« Respuesta #1 : julio 23, 2012, 03:06:13 pm »
Bajo un simple cambio de variable se tiene la integral

$I = \int_0^1 {\left( {\root 3 \of {1 - x^7 }  - \root 7 \of {1 - x^3 } } \right)dx}  = \frac{1}{7}\int_0^1 {\left( {u^{\frac{1}
{3}}  \cdot \left( {1 - u} \right)^{ - \frac{6}{7}} } \right)du}  - \frac{1}{3}\int_0^1 {\left( {u^{\frac{1}{7}}  \cdot \left( {1 - u} \right)^{ - \frac{2}{3}} } \right)du}$
invocando la funcion beta y gamma

${\rm B}\left( {x,y} \right) = \int_0^1 {t^{x - 1}  \cdot \left( {1 - t} \right)^{y - 1} dt} $

$ = \frac{1}{7}\int_0^1 {\left( {u^{\left( {\frac{1}{3} + 1} \right) - 1}  \cdot \left( {1 - u} \right)^{\left( {1 - \frac{6}
{7}} \right) - 1} } \right)du}  - \frac{1}{3}\int_0^1 {\left( {u^{\left( {1 + \frac{1}{7}} \right) - 1}  \cdot \left( {1 - u} \right)^{\left( {1 - \frac{2}{3}} \right) - 1} } \right)du} $

$ = \frac{{{\rm B}\left( {\frac{4}{3},\frac{1}{7}} \right)}}{7} - \frac{{{\rm B}\left( {\frac{8}{7},\frac{1}
{3}} \right)}}{3} = \frac{{\frac{{3\Gamma \left( {\frac{4}{3}} \right)\Gamma \left( {\frac{1}{7}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{4}{3} + \frac{1}{7}} \right)}} - \frac{{7\Gamma \left( {\frac{8}{7}} \right)\Gamma \left( {\frac{1}{3}} \right)}}
{{\Gamma \left( {\frac{8}{7} + \frac{1}{3}} \right)}}}}{{21}} = \frac{{3\Gamma \left( {1 + \frac{1}{3}} \right)\Gamma \left( {\frac{1}{7}} \right) - 7\Gamma \left( {1 + \frac{1}{7}} \right)\Gamma \left( {\frac{1}{3}} \right)}}{{21\Gamma \left( {1 + \frac{{10}}{{21}}} \right)}}$

utilizando la formula
$\Gamma \left( {n + \frac{p}{q}} \right) = \frac{1}{{q^n }}\Gamma \left( {\frac{p}{q}} \right)\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {p + kq - q} \right)}$
para n, p,q naturales y p<q
entonces
$\Gamma \left( {1 + \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3}\Gamma \left( {\frac{1}{3}} \right) \wedge \Gamma \left( {1 + \frac{1}{7}} \right) = \frac{1}{7}\Gamma \left( {\frac{1}{7}} \right)$
reemplazando en los valores obtenemos que el valor de la integral es
$ = \frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{3}} \right)\Gamma \left( {\frac{1}{7}} \right) - \Gamma \left( {\frac{1}{7}} \right)\Gamma \left( {\frac{1}{3}} \right)}}{{21\Gamma \left( {1 + \frac{{10}}{{21}}} \right)}} = 0$
·...y el ciego dijo:
no me menosprecien por no poder ver a lo que ustedes llaman ver, deberian envidiarme todos, pues tengo la ventaja de amar a las personas por lo que son y no por lo que aparentan ser, yo veo sentimientos y ustedes solo apariencias.

 


zzz