Problema

Nivel de dificultad:
  • 7.5

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Sea $M$ una función con dominio en los enteros positivos y rango en los reales, tal que para cualquier entero positivo $n$ se tiene que

$\displaystyle\sum_{d=1}^n{M\left(\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor\right)}=1$



Demuestre que para cada entero positivo $n$, $\displaystyle M(n)=\sum_{d=1}^n{\mu(d)}$
donde la sumatoria es sobre todos los divisores positivos de $n$ y $\mu$ es la función de Möbius.

Autor Tema: Definición alternativa par la función de Möbius  (Leído 929 veces)

esteban

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Definición alternativa par la función de Möbius
« : agosto 06, 2009, 06:42:25 pm »
La función de Möbius se define como $\mu(n)=1$, si $n=1$; $\mu(n)=(-1)^k$, si $n$ es el producto de $k$ primos distintos y $\mu(n)=0$ en cualquier otro caso.

La función de Möbius ha probado ser de gran importancia en el estudio de las funciones "clásicas" de la teoría de números ($\varphi$, $\tau$, $\sigma$, etc ...)  y otras no tan clásicas.
La función de Möbius es multiplicativa y se vuelve ineludible cuando se desea obtener resultados interesantes sobre las funciones multiplicativas. Por ejemplo la función de Möbius ayuda encontrar la inversa de una función en cierto grupo de funciones y en un subgrupo de funciones multiplicativas.

Quizá su propiedad más conocida es que $\varphi(n)=\displaystyle\sum_{d|n}{\dfrac{\mu(d)}{d}}$, la cual puede ser comprobada por simple expansión.

:)
« Última Modificación: agosto 06, 2009, 07:25:26 pm por esteban »

p3d40

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Re: Definición alternativa par la función de Möbius
« Respuesta #1 : agosto 06, 2009, 10:22:19 pm »
tu funcion M es de N->?
Exacto viteh

esteban

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Re: Definición alternativa par la función de Möbius
« Respuesta #2 : agosto 07, 2009, 09:54:57 pm »
Aaaa perdón, bueno la función digamos que cae en los reales, ya lo compuse.

:)

Mapache

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Re: Definición alternativa par la función de Möbius
« Respuesta #3 : agosto 10, 2009, 11:41:06 pm »
puede ser comprobada por simple expansión.

yo pensé que ibas a decir: por simple inspección... hoho

esteban

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Re: Definición alternativa par la función de Möbius
« Respuesta #4 : agosto 10, 2009, 11:50:47 pm »
jojo por simple inspección de la expansión

 


zzz