Autor Tema: Serie  (Leído 1681 veces)

craxon

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Serie
« : julio 14, 2009, 05:07:51 pm »
Que onda!

Estaba viendo un teorema de convergencia para series, que dice:  "Si una sucesión es monotona decreciente, y si el limite de la suceción cuando "n" tiende a infinito es cero, entonces la serie converge". (Perdón por no usar LaTex)

Por ejemplo en el libro de cálculo estaba que en esta serie $1/n^r$, donde r=2 (creo que por convenio o algo así, indicaba que esta serie divergia, entonces creo que si esto fuera cierto, entonces sería una contradicción?) pero en el ápendice del mismo libro, decia que la suma infinita de esa sucesión era $\pi^2/6$.


Ahora, no sé si alguien podría explicarme como obtuvieron este resultado...  ???

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esteban

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Re: Serie
« Respuesta #1 : julio 14, 2009, 07:29:59 pm »
Definitivamente si $r=2$ la serie converge y sí es ese valor que tenés ahí.

Determinar ese valor no es de las cosas más sencillas del mundo. En éste libro que te pongo aquí hay un esquema para una demostración.
Buscá en la página 36 de todo el documento (50, 51 de la numeración del libro), los ejercicios 230 (b), 231 y 233 se refieren a como calcular eso.

Más adelante en el libro estan los hints para cada problema y también las soluciones completas. Mapache acaba de investigar sobre eso. Él te podrá decir más al respecto.

Algunas otras cosas sobre series parecidas: si $r=1$ la serie diverge y se acerca como a distancia $0.5$ de $\ln(n)$. Si $r=3$ la serie ahuevos converge, pero no tenemos idea (que yo sepa) de maso a que tiende (osea con una compu podemos ver el número con algunos decimales pero no conocemos si es algo así como para $r=2$, ni para $r=1$). La serie de los recíprocos de los primos también diverge y una maso buena aproximación es $\ln(\ln(n))$.

:)

herr_guti

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Re: Serie
« Respuesta #2 : julio 15, 2009, 11:07:33 am »
Jojo jo, ese problema no es fácil, es parte del examen final de compleja 2, pregúnteles a Mapache y Hugo.
$250\mathcal{D}_7^{yn} + 802\mathcal{D}_8^{st} + 100(\mathcal{T}_8^{tn} + 2\mathcal{T}_9^{tn}) + 782.8\mathcal{E}_9^{rk} + 672\mathcal{J}_9^{ns} + 672\mathcal{D}_9^{st} \leq \mathbb{G}_{1.5}^{ap} + \mathbb{N}_3^{me^2}$

Mapache

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Re: Serie
« Respuesta #3 : julio 16, 2009, 11:26:28 pm »
Para resolver ese problema ($r=2$) se requieren conocimientos sólidos, pero no excesivamente avanzados, de análisis real y preferiblemente también de análisis complejo (Para tener una idea, yo fui capaz de resolverlo y soy malo en análisis).  El problema fue originalmente conocido como el problema de Basel.

recomiendo leer:

http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem

además adjunto  en un PDF puse 14 demostraciones distintas... recomiendo leer la prueba 7 (la original de Euler, la primera demostración que existe), todas las pruebas del PDF están reducidas a su mínima expresión, lo que significa que se saltan pasos, es un buen ejercicio para estudiantes de la carrera que vayan ya metidos en el rollo del análisis intentar rellenar los agujeros.

En cuanto a $r=3$ se pueden obtener tantos decimales como se desee (a saber, sumando los términos uno por uno hasta que se canse la compu, aunque hay métodos más eficientes)...   recuerden que el propio $\pi$  es un número tan intrincado como lo es el resultado de cualquiera de estas series, así que el que se obtiene para $r=3$ podríamos bautizarlo con un nombre bonito y ya tendríamos una "expresión bonita" que lo representa.  Lo realmente divertido es que ambos números irracionales (el de $r=2$ y $\pi$) se relacionen de manera tan peculiar.

No tenemos una expresión en términos de otros números racionales o irracionales con sus propios nombrecitos para el de $r=3$ hasta la fecha, aunque no es imposible que esté relacionado con $\pi$ de la forma en la que se relacionaba el anterior.  Sin embargo, lo que sí tenemos es una demostración hecha por Roger Apéry de que en efecto, es un número irracional.

En otras noticias, el teorema de tu libro es falso.  Un contraejemplo es el que dijo Esteban, la serie armónica:  $\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n}}$ que diverge, pero es tal que los términos de la sucesión son monótonamente decrecientes y su límite es cero.  Si la sucesión es alternante en signos entonces si son suficientes las hipótesis para asegurar la convergencia, chequeá otra vez el libro y si en efecto dice lo que dijiste que dice, entonces contanos cuál libro es... así podemos advertir del error a otros.
« Última Modificación: julio 17, 2009, 11:31:12 pm por Mapache »

craxon

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Re: Serie
« Respuesta #4 : julio 19, 2009, 12:21:48 pm »
Mmm... Creo que metí la pata en lo del teorema, estoy seguro de haber visto ese teorema en el libro, pero me di cuenta de que no está, revolví un tema con otro, por eso surgió ese "teorema", perdón.

Gracias por el material y su atención.
...tal vez en mi n-ésima vida...

p3d40

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Re: Serie
« Respuesta #5 : julio 23, 2009, 09:23:38 pm »
para r=1, la serie no se diferencia de ln(n) en 0.5, sino que la diferencia es la constante de euler-masceroni, probar si es racional o irracional es un problema abierto
Exacto viteh

esteban

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Re: Serie
« Respuesta #6 : julio 24, 2009, 10:00:50 pm »
por eso dije, en maso 0.5 que por ahí anda euler macarrone no?

p3d40

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Re: Serie
« Respuesta #7 : agosto 06, 2009, 10:27:14 pm »
al macarone
Exacto viteh

esteban

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Re: Serie
« Respuesta #8 : agosto 07, 2009, 10:07:16 pm »
y muy economico

 


zzz