Problema

Nivel de dificultad:
  • 7

Su valoración: No ha valorado al problema en un nivel de dificultad.
Considere tres puntos variables en el interior de un cubo de lado $1$. ¿Cuál es la probabilidad de que sean colineales?

Autor Tema: Probabilidad de colinealidad  (Leído 1107 veces)

esteban

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Probabilidad de colinealidad
« : junio 03, 2009, 12:45:57 am »
:) jo jo

Mapache

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Re: Probabilidad de colinealidad
« Respuesta #1 : junio 03, 2009, 08:53:11 pm »
ehmm cero con la medida usual no?

esteban

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Re: Probabilidad de colinealidad
« Respuesta #2 : junio 03, 2009, 11:56:55 pm »
mmm mmm F

realmente no sé MC, por eso, y para activar los nuevos foritos, posteo

herr_guti

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Re: Probabilidad de colinealidad
« Respuesta #3 : junio 04, 2009, 05:04:09 pm »
ehmm cero con la medida usual no?
Medida usual? La de Lebesgue en $\mathbb{R}^3$.

Debe ser la medida del conjunto de rectas que están contenidas en el cubo de lado 1.
$250\mathcal{D}_7^{yn} + 802\mathcal{D}_8^{st} + 100(\mathcal{T}_8^{tn} + 2\mathcal{T}_9^{tn}) + 782.8\mathcal{E}_9^{rk} + 672\mathcal{J}_9^{ns} + 672\mathcal{D}_9^{st} \leq \mathbb{G}_{1.5}^{ap} + \mathbb{N}_3^{me^2}$

Mapache

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Re: Probabilidad de colinealidad
« Respuesta #4 : junio 04, 2009, 10:53:42 pm »
A grandes razgos, mi idea es que si fijamos dos de los puntos (de manera que sean distintos, pues la probabilidad de que coincidan es despreciable), por cada tercer punto que esté alineado con ellos hay todo un plano de puntos (el plano normal a la recta que definen los primeros dos, y que contiene al tercer punto que está alineado) que no están alineados con ellos.

Aún en el caso del cuadrado de lado 1, me parece que la probabilidad sigue en cero.  Es siempre útil recordar que en medida usual, volúmenes hacen despreciables a áreas, en tanto que áreas hacen despreciables a segmentos de curvas... y estas últimas a los conjuntos numerables.

herr_guti

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Re: Probabilidad de colinealidad
« Respuesta #5 : junio 05, 2009, 02:17:48 pm »
También con conjuntos extraños pasa lo mismo. Por ejemplo, consideremos tomar en forma aleatoria un punto en $[0,1]$. La probabilidad que este punto pertenezca al conjunto de Cantor $\mathcal{C}$ es 0. Si definimos la medida de probabilidad $\Pr$ por
$\Pr(A):=\frac{m(A)}{m(S)},\quad A\subseteq S$
en donde $m$ es la medida de Lebesgue y $S\subset\mathbb{R}$ es el espacio muestral a considerar. Entonces al tomar $A=\mathcal{C}$ y $S=[0,1]$ tenemos lo pedido. Y recordemos que $\mathcal{C}$ no es numerable.
$250\mathcal{D}_7^{yn} + 802\mathcal{D}_8^{st} + 100(\mathcal{T}_8^{tn} + 2\mathcal{T}_9^{tn}) + 782.8\mathcal{E}_9^{rk} + 672\mathcal{J}_9^{ns} + 672\mathcal{D}_9^{st} \leq \mathbb{G}_{1.5}^{ap} + \mathbb{N}_3^{me^2}$

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Re: Probabilidad de colinealidad
« Respuesta #6 : junio 05, 2009, 06:27:17 pm »
Cierto señor herrguti... ("Cierto señor Peabody")... y el licenciado rodrigo tocó el tema (lo de Cantor tiene medida cero) en real... así que esteban ya debería estar enterado, lo que me lleva a enunciar la pregunta: "¿Por qué la dificultad del problema es 4?"

esteban

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Re: Probabilidad de colinealidad
« Respuesta #7 : junio 05, 2009, 09:36:56 pm »
por alguna razón que no conozco todos los problema que puse en estas secciones el primera día tienen valoración 4...

 


zzz