Problema

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Teorema de Miquel
Sea $ABC$ un triángulo. Sean $P, Q, R$ puntos sobre los lados $BC, CA, AB$ respectivamente. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $AQR, BRP, CPQ$ tienen un mismo punto en común.

Nota 1: Los circuncírculos mencionados en el teorema se conocen como círculos de Miquel para los puntos $P, Q, R$. El punto de intersección de los dichos circuncírculos se conoce como punto de Miquel de los puntos $P, Q, R$. Cuando se esta hablando del tema, al triángulo $PQR$ se le llama triángulo de Miquel.

1)
Sea $M$ el punto de Miquel que define el triángulo $PQR$ (según la notación del teorema). Demuestre que los ángulos que entre $MP$ y $BC$, $MQ$ y $CA$, $MR$ y $AB$ son iguales.

Nota 2: Un triángulo de Miquel tiene un único punto de Miquel asociado. Sin embargo dos triángulos de Miquel distintos pueden tener el mismo punto de Miquel.

Autor Tema: 002 Teorema de Miquel y un resultadito  (Leído 1526 veces)

esteban

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002 Teorema de Miquel y un resultadito
« : agosto 03, 2008, 02:52:51 pm »
Teorema de Miquel
Sea $ABC$ un triángulo. Sean $P, Q, R$ puntos sobre los lados $BC, CA, AB$ respectivamente. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $AQR, BRP, CPQ$ tienen un mismo punto en común.

Nota 1: Los circuncírculos mencionados en el teorema se conocen como círculos de Miquel para los puntos $P, Q, R$. El punto de intersección de los dichos circuncírculos se conoce como punto de Miquel de los puntos $P, Q, R$. Cuando se esta hablando del tema, al triángulo $PQR$ se le llama triángulo de Miquel.

1)
Sea $M$ el punto de Miquel que define el triángulo $PQR$ (según la notación del teorema). Demuestre que los ángulos que entre $MP$ y $BC$, $MQ$ y $CA$, $MR$ y $AB$ son iguales.

Nota 2: Un triángulo de Miquel tiene un único punto de Miquel asociado. Sin embargo dos triángulos de Miquel distintos pueden tener el mismo punto de Miquel.

Nivel: 1-2
:)
« Última Modificación: agosto 03, 2008, 03:45:11 pm por esteban »

esteban

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Re: 002 Teorema de Miquel y un resultadito
« Respuesta #1 : agosto 24, 2008, 11:47:49 am »
Aqui va un poco de ayuda visual.
La imagen esta en el adjunto.

:)


 


zzz