Problema

Nivel de dificultad:
  • 4.5

Su valoración: No ha valorado al problema en un nivel de dificultad.
Para numeros positivos $a,b,c$, pruebe que
$\displaystyle\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Autor Tema: Problema 4, Olimpiada Nordica, 1987  (Leído 1621 veces)

heuibeomlee

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Problema 4, Olimpiada Nordica, 1987
« : marzo 27, 2009, 09:35:27 pm »
Para numeros positivos $a,b,c$, pruebe que
$\displaystyle\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

esteban

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Re: Problema 4, Olimpiada Nordica, 1987
« Respuesta #1 : marzo 29, 2009, 06:25:38 pm »
Una versión más general de este problema ya fue resuelto aqui http://foro.mate304.org/index.php?topic=503.0.

Sin embargo no estoy seguro de su valoración y como, claro, eso depende de la solución, Chinon: mostra tu solución porfa.

:)
« Última Modificación: marzo 30, 2009, 01:03:46 pm por esteban »

RaFa

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Re: Problema 4, Olimpiada Nordica, 1987
« Respuesta #2 : diciembre 28, 2009, 09:57:04 pm »
Spoiler: una duda (click to show/hide)
Es mejor intentar y fracasar que nunca haberlo intentado.


esteban

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Re: Problema 4, Olimpiada Nordica, 1987
« Respuesta #3 : diciembre 28, 2009, 10:16:54 pm »
Porque $1\ge x, y, z$ ?

RaFa

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Re: Problema 4, Olimpiada Nordica, 1987
« Respuesta #4 : diciembre 28, 2009, 10:18:01 pm »
Osea que 1 sea mayor que cada uno de ellos:x,y,z
Considerando cuando los valores de cada uno es menor que 1, se llega a la contradiccion
Es mejor intentar y fracasar que nunca haberlo intentado.


esteban

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Re: Problema 4, Olimpiada Nordica, 1987
« Respuesta #5 : diciembre 28, 2009, 10:39:23 pm »
pero explicame porque cada uno de esos es menor o igual que 1

RaFa

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Re: Problema 4, Olimpiada Nordica, 1987
« Respuesta #6 : diciembre 29, 2009, 10:28:04 am »
Spoiler (click to show/hide)
Es mejor intentar y fracasar que nunca haberlo intentado.


heuibeomlee

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Re: Problema 4, Olimpiada Nordica, 1987
« Respuesta #7 : diciembre 29, 2009, 11:32:30 am »
Bueno..aqui va una solucion..disculpen la tardanza. hahaha
Spoiler (click to show/hide)

esteban

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Re: Problema 4, Olimpiada Nordica, 1987
« Respuesta #8 : diciembre 29, 2009, 11:47:43 am »
RAFA: mostrame un caso en que $x, y, z\le 1$

RaFa

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Re: Problema 4, Olimpiada Nordica, 1987
« Respuesta #9 : diciembre 29, 2009, 12:46:13 pm »
haha ya me di cuenta, mi error fue hacer el cambio, si todos fueran menores que uno, obtendria que 1<1. Perdon
Es mejor intentar y fracasar que nunca haberlo intentado.


esteban

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Re: Problema 4, Olimpiada Nordica, 1987
« Respuesta #10 : diciembre 29, 2009, 09:32:30 pm »
No pueden ser todos menores o iguales que uno, esa es la cosa.

Mapache

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Re: Problema 4, Olimpiada Nordica, 1987
« Respuesta #11 : diciembre 30, 2009, 10:27:40 am »
haha ya me di cuenta, mi error fue hacer el cambio, si todos fueran menores que uno, obtendria que 1<1. Perdon

Hacer ese cambio no es un error 'per se', pero tenés que tener cuidado que las nuevas variables no necesariamente tienen el mismo dominio que las anteriores.  Por ejemplo si una variable x es real positiva, entonces la variable y = x+3 es mayor que 3 (ahora se mira obvio, pero en tu sustitución no era muy claro)... y este es el consejo: "Siempre que hagás sustituciones de variables, revisá los dominios de las nuevas variables".  El consejo es especialmente útil en desigualdades y en cálculo (que a la hora de la hora se fundamenta en desigualdades)

 


zzz