Problema

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Para todo real positivo $a$, pruebe que $(1+a+a^2+a^3)^2\le 4(1+a^2+a^4+a^6)$

Autor Tema: Problema 2, Moldavia, 9th grade, 1996  (Leído 715 veces)

heuibeomlee

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Problema 2, Moldavia, 9th grade, 1996
« : marzo 25, 2009, 09:36:04 pm »
Para todo real positivo $a$, pruebe que $(1+a+a^2+a^3)^2\le 4(1+a^2+a^4+a^6)$

RaFa

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Re: Problema 2, Moldavia, 9th grade, 1996
« Respuesta #1 : marzo 26, 2009, 09:33:02 pm »
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« Última Modificación: marzo 26, 2009, 10:21:41 pm por heuibeomlee »
Es mejor intentar y fracasar que nunca haberlo intentado.


heuibeomlee

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Re: Problema 2, Moldavia, 9th grade, 1996
« Respuesta #2 : marzo 26, 2009, 10:27:23 pm »
Rafa:
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esteban

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Re: Problema 2, Moldavia, 9th grade, 1996
« Respuesta #3 : marzo 27, 2009, 09:17:55 am »
bueno de hecho es posible una solución operando
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RaFa

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Re: Problema 2, Moldavia, 9th grade, 1996
« Respuesta #4 : marzo 27, 2009, 09:39:20 am »
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Es mejor intentar y fracasar que nunca haberlo intentado.


heuibeomlee

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Re: Problema 2, Moldavia, 9th grade, 1996
« Respuesta #5 : marzo 27, 2009, 12:46:32 pm »
Estas desigualdades son importantes:
$\displaystyle\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdot\cdot\cdot+a_n^2}{n}}\ge\frac{a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdot\cdot\cdot a_n}\ge\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{a_n}}$
Bueno, y hay otro, un poco mas general..
$\displaystyle\sqrt[k]{\frac{a_1^k+a_2^k+\cdot\cdot\cdot+a_n^k}{n}}\ge\frac{a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_n}{n}$

RaFa

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Re: Problema 2, Moldavia, 9th grade, 1996
« Respuesta #6 : octubre 08, 2009, 10:49:35 pm »
Estoy de regreso en este problema!
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Es mejor intentar y fracasar que nunca haberlo intentado.


Mapache

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Re: Problema 2, Moldavia, 9th grade, 1996
« Respuesta #7 : octubre 09, 2009, 11:02:55 am »
Con un álgebra mera fea y engorrosa, sale usando la fórmula de la serie geométrica, y lo que decía Esteban del teorema del factor... no se si esa era la forma en que lo hiciste Esteban?

 


zzz