Problema

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Demuestre que:
$(A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)$

Autor Tema: Problema 1, Regional XX Olimpiada Nacional de Guatemala, Mate de tercero Básico  (Leído 7395 veces)

AV

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A pedido de un miembro del foro, aquí esta mi solución de este problema.

Problema:
Demuestre que:
$(A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)$

Y nos dan una sugerencia:
Tome en cuenta que $A-B=A\cap B^C$ , $B^C$ notando complemento.
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« Última Modificación: febrero 13, 2009, 08:53:59 pm por Mapache »

RaFa

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que calidad se ve Latex.
Se entiende bien, un agradecimiento en nombre del usuario que te preguntó
Es mejor intentar y fracasar que nunca haberlo intentado.


Mapache

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En latex hay cuadrito, no me acuerdo como se saca.
Una demostración eficiente es hallar la proposición que representa al primer conjunto  $(A-B)\cup(B-A) $, digamos "p" y la que representa al segundo conjunto  $(A\cup B)-(A\cap B)$, digamos "q" y finalmente mostrar que "p si y solo si q" es siempre verdadero (tautología).
« Última Modificación: agosto 02, 2008, 08:51:28 pm por Mapache »

AV

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En latex hay cuadrito, no me acuerdo como se saca.
Una demostración eficiente es hallar la proposición que representa al primer conjunto  $(A-B)\cup(B-A) $, digamos "p" y la que representa al segundo conjunto  $(A\cup B)-(A\cap B)$, digamos "q" y finalmente mostrar que "p si y solo si q" es siempre verdadero (tautología).
Según wikipedia para sacar el simbolo de Halmos se usa \qedsymbol or \qed, pero no me salio en mi compu ni en el interprete de Latex, y no estaba de humor como para ponerme a hacerlo funcionar.

Eh, corregí lo de DeMorgan.

Entonces con una tablita de verdad se puede demostrar esa cosa?
« Última Modificación: agosto 02, 2008, 08:51:44 pm por Mapache »

Mapache

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Así es, y es más, es la manera más simple de demostrar igualdades en conjuntos, en tanto que las expresiones empleen únicamente operaciones de conjuntos (traducibles a conectivos lógicos).

AV

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Así es, y es más, es la manera más simple de demostrar igualdades en conjuntos, en tanto que las expresiones empleen únicamente operaciones de conjuntos (traducibles a conectivos lógicos).
Yo pensaba que las tablitas de verdad no eran demostraciones validas...
Entonces solo es de usar la sugerencia, hacer que los complementos sean negaciones, las uniones sean o's, las intersecciones y's, hacer ambas tablas de verdad y ver que quedan igual...

Mapache

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¿cómo se define la unión?   Si $A$ es el conjunto de los elementos $x$ tales que cumplen la proposición $a$, esto es:  $A:= \{x:a \}
 $ y de manera equivalente $B:= \{x:b \} $  donde los elementos son tomados de algún conjunto universo determinado, entonces la unión de esos conjuntos se define como:
$A \cup B := \{x:a \vee b \}
 $

A partir de allí es evidente que las demostraciones con tablas de verdad no sólo son válidas, sino que naturales.

AV

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¿Porque toda mi vida debo escoger las demostraciones más difíciles de hacer?

¿Qué sale con una exhaustion? Nah, hagamos principio de inclusión y exclusión. Y demás traumas.

Mapache

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las demostraciones simples en matemática tienden a ser bienes adquiridos mediante estudio... normalmente uno toma los caminos más complicados primero... le pasa a todos.

AV

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Uh... No deseas escribir una demostración simple para esta cosa?

Mapache

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la demostración simple de esto queda como ejercicio para el lector, jojo

Jchang

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buuuu yo quieor la demostracion simple

mi actual estado:


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va... pero me esperas un cacho... la escribo mañana tal vez...

AV

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buuuu yo quieor la demostracion simple
la demostración simple de esto queda como ejercicio para el lector, jojo

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¿puedo citar al mismo post que estoy escribiendo ahora?


wii!!  post #100, soy full fledge meber.

 


zzz