Autor Tema: Forma cuadrática-Calculo  (Leído 3353 veces)

patita

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Forma cuadrática-Calculo
« : septiembre 02, 2008, 08:03:43 pm »
Tengo un problema y no sé qué pinche fórmula del cálculo de varias variables necesito. El problema dice así  :-\

«Sea $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ una función con segunda derivada contínua, tal que $f(tx)=t^2f(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}^n$. Demostrar que $f$ es una forma cuadrática. (Para esto el lector necesita recurrir a algunas fórmulas del cálculo multivariable)»

¡Gracias!

 :)
« Última Modificación: septiembre 02, 2008, 08:05:22 pm por patita »

Pablo Castellanos

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Re: Forma cuadrática
« Respuesta #1 : septiembre 02, 2008, 08:39:53 pm »
A ver, una forma cuadrática es algo así como $f(x)=\left<x,x\right>$ donde $\left<x,y\right>$ es un producto escalar definido en ese espacio vectorial.

Me tengo que recordar de algunas cosas...

Pero me deja el bus.

¡Hasta mañana!
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Pablo Castellanos

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Re: Forma cuadrática
« Respuesta #2 : septiembre 03, 2008, 08:02:52 pm »
Mucho trabajo en INGASA, hoy hasta vine como a las 18:00, uff. Será para otra ocasión.

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herr_guti

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Re: Forma cuadrática-Calculo
« Respuesta #3 : septiembre 04, 2008, 12:05:02 pm »
No es tan trabado el problema, sigan hechando penca si en el 2025 no ha salido, están fregados.
$250\mathcal{D}_7^{yn} + 802\mathcal{D}_8^{st} + 100(\mathcal{T}_8^{tn} + 2\mathcal{T}_9^{tn}) + 782.8\mathcal{E}_9^{rk} + 672\mathcal{J}_9^{ns} + 672\mathcal{D}_9^{st} \leq \mathbb{G}_{1.5}^{ap} + \mathbb{N}_3^{me^2}$

esteban

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Re: Forma cuadrática-Calculo
« Respuesta #4 : septiembre 04, 2008, 12:41:31 pm »
como se define la derivada de una función de varias variables?


(por lo menos en el caso en que $f$ es un polinomio de grado dos en las $n$ variables no es tan difíficil  de demostrar lo que pide el problema, siempre y cuando la segunda derivada de $f $ en este caso sea continua)



:)

Mapache

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Re: Forma cuadrática-Calculo
« Respuesta #5 : septiembre 04, 2008, 01:19:30 pm »
eso es precisamente lo que piden esteban, demostrar que es un polinomio de grado 2 sobre las variables...

bueno ahí va un primer hint:

primero que nada, conociendo las clases de ingeniería, tal vez te resulte más familiar escribir:
$f(x) = f(x_1,x_2,...,x_n)$, siendo así, la condición de $t$ queda así:
$f(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t^2\cdot{}f(x_1,x_2,...,x_n) $.

Como te dicen que posee segunda derivada continua (esto debes interpretarlo como que posee segundas derivadas parciales continuas), algo muy lógico sería derivar para ver que pasa...

el hint es tomar algunas funciones de varias variables (cumplan o no el requisito de la t), y observar como se comporta la derivada parcial con respecto a la primer variable (digamos $x_1$) de esas funciones, y la derivada parcial con respecto a $tx_1$ de esas funciones pero con las variables multiplicadas cada una por $t$ (es decir, de $f(tx)$, y finalmente la derivada parcial con respecto a la $x_1$ de las funciones, luego valuándolas en $tx$... creo que eso te daría una visión de para que utilizar la condición de lo de $t$ del problema.
« Última Modificación: septiembre 04, 2008, 01:21:17 pm por Mapache »

esteban

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Re: Forma cuadrática-Calculo
« Respuesta #6 : septiembre 04, 2008, 05:45:37 pm »
oooo, y como se define la derivada en para una función de varias variables? es algo alocado?

(se a que te referis con las derivadas parciales, pero en ningun lugar encontre convincentemente que es la derivada de una función en varias variables, porque evidentemente tuve que buscar que era todas la palabras raras que dice el problema)


-------


pero tenes razón la parte difícil del problema es demostrar (si tal es el caso) que $f$ es un polinomio homogeneo de grado dos, lo otro es trivial en comparación de como se mira eso...

:)
« Última Modificación: septiembre 04, 2008, 07:18:26 pm por esteban »

Pablo Castellanos

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Re: Forma cuadrática-Calculo
« Respuesta #7 : septiembre 04, 2008, 08:28:44 pm »
No es tan trabado el problema, sigan hechando penca si en el 2025 no ha salido, están fregados.

Ja ja ja ja ja ja
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Pablo Castellanos

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Re: Forma cuadrática-Calculo
« Respuesta #8 : septiembre 04, 2008, 08:30:59 pm »
oooo, y como se define la derivada en para una función de varias variables? es algo alocado?

(se a que te referis con las derivadas parciales, pero en ningun lugar encontre convincentemente que es la derivada de una función en varias variables, porque evidentemente tuve que buscar que era todas la palabras raras que dice el problema)


-------


pero tenes razón la parte difícil del problema es demostrar (si tal es el caso) que $f$ es un polinomio homogeneo de grado dos, lo otro es trivial en comparación de como se mira eso...

:)


CHucuchucu.

Sería más fácil saber cuál fórmula usar. Porque es obvio que es una forma cuadrática.

Pero sigo en la INGASA y estoy vieniendo muy noche a la U.

Bye!
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Mapache

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Re: Forma cuadrática-Calculo
« Respuesta #9 : septiembre 04, 2008, 08:38:38 pm »
sale con lo que yo dije, creo, aunque realmente no me he puesto a pensarlo, pero creo que con lo que dije se puede mostrar que la segunda derivada es constante y de allí partís...

p3d40

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Re: Forma cuadrática-Calculo
« Respuesta #10 : septiembre 04, 2008, 09:13:15 pm »
moviste mi movida!!!

Mapache dice: a donde lo habías movido pues? a miscelanea?... porque allí no va.
« Última Modificación: septiembre 04, 2008, 09:41:54 pm por Mapache »
Exacto viteh

herr_guti

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Re: Forma cuadrática-Calculo
« Respuesta #11 : septiembre 05, 2008, 03:44:05 pm »
La derivada de una función de varias variables es la matriz jacobiana en el caso más general (electric)
$250\mathcal{D}_7^{yn} + 802\mathcal{D}_8^{st} + 100(\mathcal{T}_8^{tn} + 2\mathcal{T}_9^{tn}) + 782.8\mathcal{E}_9^{rk} + 672\mathcal{J}_9^{ns} + 672\mathcal{D}_9^{st} \leq \mathbb{G}_{1.5}^{ap} + \mathbb{N}_3^{me^2}$

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Re: Forma cuadrática-Calculo
« Respuesta #12 : septiembre 05, 2008, 04:00:52 pm »
primero que nada, conociendo las clases de ingeniería, tal vez te resulte más familiar escribir:
$f(x) = f(x_1,x_2,...,x_n)$, siendo así, la condición de $t$ queda así:
$f(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t^2\cdot{}f(x_1,x_2,...,x_n) $.

Lo correcto es: $f(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t^n\cdot f(x_1,x_2,...,x_n) $
$250\mathcal{D}_7^{yn} + 802\mathcal{D}_8^{st} + 100(\mathcal{T}_8^{tn} + 2\mathcal{T}_9^{tn}) + 782.8\mathcal{E}_9^{rk} + 672\mathcal{J}_9^{ns} + 672\mathcal{D}_9^{st} \leq \mathbb{G}_{1.5}^{ap} + \mathbb{N}_3^{me^2}$

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Re: Forma cuadrática-Calculo
« Respuesta #13 : septiembre 05, 2008, 05:15:58 pm »
La derivada de una función de varias variables es la matriz jacobiana en el caso más general (electric)

¡Aaaah!

Esto sí es útil.
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Re: Forma cuadrática-Calculo
« Respuesta #14 : septiembre 05, 2008, 05:18:10 pm »
primero que nada, conociendo las clases de ingeniería, tal vez te resulte más familiar escribir:
$f(x) = f(x_1,x_2,...,x_n)$, siendo así, la condición de $t$ queda así:
$f(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t^2\cdot{}f(x_1,x_2,...,x_n) $.

Lo correcto es: $f(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t^n\cdot f(x_1,x_2,...,x_n) $

Cierto...





...¡Pero no es cierto!
« Última Modificación: septiembre 05, 2008, 07:50:51 pm por Pablo Castellanos »
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zzz