Problema

Nivel de dificultad:
  • 7

Su valoración: No ha valorado al problema en un nivel de dificultad.
Para cada entero positivo $n$ sea $a_n$ un real positivo.

a Demuestre lo siguiente. Si $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n+1}{a_n}}$ es un número real, entonces $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_n}}$ existe y es el mismo número.

Adicionalmente

b Investigue el caso en que el primer límite sea infinito.

c Determine si el resultado es verdadero cuando el primer límite no existe. Encuentre una sucesion para la cual el primer límite no exista y el segundo tampoco.


Extra

Investigue cosas sobre el segundo límite cuando únicamente sabe que la sucesión $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ es acotada superiormente (/inferiormente).

Autor Tema: La regla del cociente y el teorema de Cauchy-Hadamard  (Leído 3325 veces)

esteban

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La regla del cociente y el teorema de Cauchy-Hadamard
« : noviembre 07, 2010, 10:29:58 pm »
Sabemos que dada una sucesión de números reales $a_n$, existe un real (extendido) $0\le R\le\infty$ tal que

-> Si $|x|<R$, $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{a_nx^n}$ es un número real.

-> Si $|x|>R$, $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{a_nx^n}$ diverge.

El teorema de Cauchy-Hadamard afirma que $\displaystyle R^{-1}=\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{a_n}$. Y (para algunos) en Inter 1 nos dicen que hallemos el radio de convergencia de una serie usando la regla del cociente. Así que este problema es alguna especie de justificación de eso.

:)
« Última Modificación: noviembre 07, 2010, 11:44:17 pm por Mapache »

esteban

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Re:La regla del cociente y el teorema de Cauchy-Hadamard
« Respuesta #1 : noviembre 07, 2010, 10:33:05 pm »
A quien corresponda: parece que hay problemas con las raíces n-ésimas y el LaTeX.


 :)

Mapache

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Re:La regla del cociente y el teorema de Cauchy-Hadamard
« Respuesta #2 : noviembre 07, 2010, 11:44:49 pm »
Supongo que falta algún paquete.

AV

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Re:La regla del cociente y el teorema de Cauchy-Hadamard
« Respuesta #3 : noviembre 08, 2010, 09:09:25 pm »
Raíces enésimas no usa paquetes, es por la forma como hice que interpretara el foro LaTeX.

esteban

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Re:La regla del cociente y el teorema de Cauchy-Hadamard
« Respuesta #4 : julio 28, 2012, 08:15:40 pm »
A quien corresponda: parece que ya no hay un problema con las raíces enésimas.

AV

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Re:La regla del cociente y el teorema de Cauchy-Hadamard
« Respuesta #5 : agosto 02, 2012, 06:02:15 am »
Aha, lo arreglé cuando actualicé el software del foro.

 


zzz