IMO 2012 Argentina

[AV]

Dejo aquí los problemas de la "International Math Olympiad 2012" en Argentina. Los enunciados los he traducido yo del inglés, así que muy probablemente difieren de los enunciados oficiales en español.

Primer Día

Problema 1:

Dado un triángulo $ABC$, el punto $J$ es el excentro opuesto al vértice $A.$ Este excírculo es tangente a $BC$ en $M$, y a las líneas $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$, respectivamente. Las líneas $LM$ y $BJ$ se encuentran en $F$, y las líneas $KM$ y $CJ$ se encuentran en $G.$ Sea $S$ el punto de intersección de las líneas $AF$ y $BC$, y sea $T$ el punto de encuentro de $AG$ y $BC.$ Probar que $M$ es el punto medio de $ST.$

Tema para proponer soluciones: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1561.0.html

Problema 2:

Si para $n \ge 3$ el producto de reales positivos $a_{2},a_{3},\dots,a_{n}$ satisface $a_{2}\cdot a_{3}\cdot\dots\cdot a_{n}=1$ demostrar que: \[
\left(a_{2}+1\right)^{2}\left(a_{3}+1\right)^{3}\dots\left(a_{n}+1\right)^{n}>n^{n}\]

Tema para proponer soluciones: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1562.0.html

Problema 3:

Las adivinanzas del mentiroso es un juego entre dos jugadores $A$ y $B$. Las reglas del juego dependen de enteros positivos $k$ y $n$ que son conocidos para ambos jugadores.

Al comienzo del juego $A$ escoge enteros $x$ y $N$ con $1 \le x \le N.$ El jugdor $A$ mantiene $x$ en secreto, y le revela de manera honesta $N$ al jugador $B$. El jugador $B$ ahora intenta obtener información sobre $x$ preguntándole al jugador $A$ preguntas de la siguiente forma:
Cada pregunta consiste en $B$ especificando un conjunto arbitrario $S$ de enteros positivos (posiblemente uno especificado en una pregunta previa), y preguntándole a $A$ si $x$ pertenece a $S$. El jugador $B$ puede preguntar todas las preguntas que él desee.
Después de cada pregunta,  $A$ debe responder inmediatamente con sí o no, pero se le permite mentir cuantas veces desee; la única restricción es que entre cualequiera $k+1$ respuestas consecutivas, una debe ser verdad.

Cuando $B$ termina de hacer todas las preguntas que quiera, debe especificar un conjunto $X$ de a lo sumo $n$ enteros positivos. Si $x$ pertenece a $X$, entonces $B$ gana; caso contrario, pierde. Demostrar que:

1. Si $n \ge 2^k,$ entonces $B$ tiene una estrategia ganadora.
2. Para todo $k$ suficientemente grande, existe un entero $n$ tal que $n \ge (1.99)^k$ de tal manera que $B$ no puede garantizar la victoria.

Tema para proponer soluciones: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1563.0.html

[AV]

Segundo día, esta vez sí pude basarlo de los enunciados oficiales en español.

Segundo Día

Problema 4

Hallar todas las funciones $f: \mathbb Z \to \mathbb Z$ que cumplen la siguiente igualdad:

\[f(a)^2 + f(b)^2 + f(c)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a) \]

Tema para proponer soluciones: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1564.0.html

Problema 5

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BCA = 90^{\circ}$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$, sea $X$ un punto interior del segmento $CD$. Sea $K$ el punto en el segmento $AX$ tal que $BK = BC$. Análogamente, sea $L$ el punto en el segmento $BX$ tal que $AL = AC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AL$ y $BK$.
Demostrar que $MK = ML$.

Tema para proponer soluciones: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1565.0.html

Problema 6

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tales que:

\[ \dfrac 1 {2^{a_1}} + \dfrac 1 {2^{a_2}} + \ldots + \dfrac 1 {2^{a_n}} = \dfrac 1 {3^{a_1}} + \dfrac 2 {3^{a_2}} + \ldots + \dfrac n {3^{a_n}} = 1\]

Tema para proponer soluciones: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1566.0.html