Autor Tema: Centro 2012  (Leído 1916 veces)

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Centro 2012
« : mayo 21, 2012, 11:37:28 pm »
Para que todo ese texto no se pierda entre tanto correo, recopilo en este tema el material empleado para el entrenamiento de la delegación centro 2012, en aras del orden, posible uso futuro, y que en algo debemos entretenernos mientras nos llega la hora.

Para discutir el material que se encuentra en este tema, por favor utilizar este otro:
http://foro.mate304.org/index.php?topic=1480.0


Material Bibliográfico

Álgebra

Combinatoria
Teoría Combinatoria, texto usado por Fernando para impartir las clases entre semana. (Primeros Cuatro Capítulos): https://docs.google.com/file/d/0B-396FPw3zv9WFRhUUhocWJaUEE/
Geometría
Libro Mexicano de Geometría.

Teoría de Números
Libro Mexicano de Teoría de Números.
« Última Modificación: junio 02, 2012, 04:43:47 am por AV »


AV

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Re:Centro 2012
« Respuesta #2 : mayo 22, 2012, 01:19:12 am »
Problemas del Día

Primera Semana
15 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1483.0.html
16 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1484.0.html
17 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1485.0.html
18 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1486.0.html
19 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1487.0.html
20 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1489.0.html
21 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1490.0.html

Segunda Semana
22 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,734.0.html
23 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1491.0.html
24 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1492.0.html
25 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1500.0.html
26 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1493.0.html
27 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1494.0.html
28 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1495.0.html

Tercera Semana
29 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1499.0.html
30 de Abril: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1501.0.html
1 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1498.0.html
2 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,555.0.html
3 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,451.0.html
4 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1497.0.html
5 de Mayo: Descanso

Cuarta Semana
6 de Mayo: Descanso
7 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1503.0.html
8 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1504.0.html
9 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1505.0.html
10 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1506.0.html
11 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,560.0.html
12 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1496.0.html

Quinta Semana
13 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1507.0.html
14 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1508.0.html
15 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1300.msg10000.html#msg10000
16 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1521.msg10017/boardseen.html#new
17 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1509.0.html
18 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,541.0.html
19 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1510.0.html

Sexta Semana
20 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1511.0.html
21 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1515.0.html
22 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1512.0.html
23 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1513.0.html
24 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1514.0.html
25 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1516.0.html
26 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1517.0.html

Séptima Semana
27 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1488.0.html
28 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1519.msg10016.html#new
29 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1520.msg10020.html#new
30 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1522.0.html
31 de Mayo: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1238.0.html
1 de Junio: http://foro.mate304.org/index.php/topic,1527.0.html
2 de Junio: N/A

Octava Semana
3 de Junio: N/A
4 de Junio:
5 de Junio:
« Última Modificación: junio 05, 2012, 10:32:52 pm por AV »

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Re:Centro 2012
« Respuesta #3 : mayo 22, 2012, 02:17:26 am »
Clases entre Semana
Las clases entre semana para la preselección de alumnos centro iniciaron en la primera semana de mayo. Varios de los integrantes no pueden estar presentes de manera presencial, por lo que contamos con las notas escaneadas de esos días, más explicaciones completementarias de mi parte. Transcribiré semana con semana dicho material:


Primera Semana
Correo enviado el cinco de mayo:

Teoría
Saludos

Les escribo una descripción de los puntos importantes de nuestras clases de esta semana. Léanlo y tómenlo en cuenta, varios de estos puntos son para su "caja de herramientas resuelve problemas". Muchas gracias a Rodrigo por escanear sus notas, que adjunto en este correo consúltenlas conforme van leyendo mis comentarios.

Miércoles 2 de Mayo

-Desigualdades
Varios de los problemas del día que hemos estado trabajando involucran desigualdades. Las desigualdades, hasta cierto punto, se pueden trabajar de una manera similar a las igualdades, en cuanto a operaciones tales como sumar una constante de ambos lados. Para saber qué operaciones se pueden realizar con una desigualdad, se requiere un marco formal para esta relación. Partimos del concepto de número positivo, suponemos que un conjunto "P" de números positivos está tado, tal que se cumple la siguiente tricotomía:
Para todo real x, solo una de las siguientes tres es verdadera:
*x está en P
*-x (el inverso aditivo de x) está en P
*x = 0
Esta "ley de la tricotomía" asegura que al momento de definir la relación "x mayor que y", denotado por x > y, ssi (x - y) ∊ P, entonces siempre se va a cumplir una y solo una de las siguientes tres: x > y, x = y, x < y
A partir de la definición de la relación "mayor que" se pueden demostrar las propiedades que aparecen en las notas. Para una lista bastante completa de las propiedades útiles que las desigualdades cumplen, consultar:
http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)#Properties
 
-La relación "mayor que" como una relación de orden
Vimos el sábado pasado que la "magia", el motor que hace funcionar al principio de inducción es la capacidad de decir que un número entero tiene un "sucesor", poder decir que el 6 viene después del 5. También es la misma magia, aunque disfrazada en otras ropas, la cual hace funcionar al principio del buen orden, todo subconjunto de los enteros positivos tiene un elemento mínimo. En los reales no tenemos esa suerte, para 2 no podemos decir que tres le sigue, ni tampoco que 2.1 le sigue, ni 2.01 etc. Tampoco podemos revertir el problema, no podemos determinar "quién va antes", por ejemplo al considerar al 1 nos vemos tentados a decir que el 0.999... periódico viene antes, caemos en el error que ambas representaciones equivalen al mismo número. El consuelo que nos queda es que aunque no podamos decir que cierto número venga "inmediatamente" antes, sí es posible decir que un número viene antes, y esto es dado por la relación de orden que acabamos de definir. Por ejemplo, 3.14 > 3.04 implica que 3.14 viene "después" que el 3.04. No parece gran consuelo, pero algo tiene de especial al darse cuenta que incluso hay ciertos conjuntos en donde un orden similar no es posible, por ejemplo en los números Complejos no podemos definir un concepto de número positivo, por tanto no podemos definir una relación de "mayor que" como se ha definido en los reales.

-Leyes de los Exponentes y valores para exponentes no enteros
Como uno de los ejemplos de funcions crecientes y decrecientes, se ha utilizado la exponenciación. Esta es una función definida para los reales, aunque el concepto de "multiplicación realizada n veces" solamente es válido para n natural, este concepto engendra las llamadas leyes de exponente
http://en.wikipedia.org/wiki/Laws_of_exponents#Identities_and_properties
Cuando se quiere definir exponentes para valores no naturales, se busca que se sigan cumpliendo las leyes de los exponentes. Es así como se definen exponentes negativos y racionales, como se miran en las notas y como se puede ver en el último vínculo. También es posible considerar exponentes reales e incluso complejos, mediante procesos más avanzados pertenecientes a la rama de análisis, que por el momento no es de mucha relevancia para nuestros propósitos.

-Como una aplicación directa de las propiedades recién demostradas de las desigualdades, se prueba que en todo triángulo el semiperímetro es mayor que cualquiera de los lados. También se hace un recordatorio, para que tres cantidades reales formen un triángulo, estas tienen que cumplir la desigualdad triangular. Se anexa un ejemplo donde no se cumplió el teorema del semiperímetro debido a que las cantidades consideradas no formaban un triángulo.

-En la solución del Problema del domingo 15 se hace una aplicación directa del principio de las casillas. En este caso era obvio que debía ser empleado, más adelante conforme la complejidad de los problemas crece llega a ser sorpendente los lugares en donde se puede aplicar el principio de las casillas.

-Nadie resolvió el problema del Lunes 16. Mi solución se basa en el algoritmo de la división. Al final de la solución aparece brevemente el algoritmo de la división, y que también un número m divide a n sí y solo sí al calcular las cantidades del algoritmo de la división, el residuo resulta cero. Por lo tanto procedo a realizar un análisis exhaustivo de los residuos posibles al dividir dentro de nueve, elevar al cuadrado, y luego buscar que la suma de tres cuadrados sea divisible dentro de nueve. La conclusión a la que se llega en este análisis exhaustivo es que en todos los casos dos cantidades deben tener el mismo residuo, por lo tanto alguna de las restas propuestas por el problema deja residuo cero, siendo divisible dentro de nueve. Todas estas operaciones se pueden manejar a manera más elegante utilizando la teoría de congruencias, en la cual profundizaremos la próxima semana.

-Finalmente, el problema del Martes 17 emplea un ingenioso truco de transformar el cuadrilátero en otro cuadrilátero, en el cual se pueda emplear un resultado previo. La clave de esta transformación es que se mantiene invariante el área. Muchas veces, dado un problema y cierta propiedad de interés, es muy útil transformar el problema de manera que se mantiene constante la propiedad de interés, pero las demás propiedades cambian de manera que sea más fácil calcular o resolver el problema.

Jueves 3
Una buena parte del día fue dedicada a intentar problemas del día pasados. En la parte magistral partimos de uno de los incisos del problema del viernes 27 de abril. Se considera la suma de los primeros n cuadrados. Para esta suma existe una fórmula dada. Provisto que se tiene la fórmula, la solución se sigue inmediatamente por inducción. Ahora supongamos que no se tiene la fórmula, hay varias formas de llegar a la expresión. La que requiere menos pensamiento pero mayor suerte, es considerar la sucesión de sumas parciales, es decir la serie formada por la suma del primer cuadrado, la suma de los primeros dos, la suma de los primeros tres, etc... Calculas varios términos de esa sucesión, alrededor de 10, o los que sean necesarios para llegar a postular una conjetura. Si bien nos va, la conjetura es cierta y una inducción basta. Por lo tanto una primera aproximación a los problemas con secuencias es calcular suficientes miembros de la secuencia para tener un conocimiento del comportamiento de la misma y llegar a formar una conjetura.

El problema del método anterior es que si la fórmula es muy compleja, o la secuencia es demasiado errática, es muy difícil (a menos que tengamos sueños psicodélicos como los tenía Ramanujan) llegar a adivinar la fórmula. Nos podemos ayudar de calcular la diferencia entre cada término de la secuencia, observar su factorización en caso que sea entero, pero incluso si estas ayudas fallan debemos tornar la vista hacia otras posibilidades. En este caso les demostré que la fórmula es igual a la suma de dos coeficientes binomiales, lo cual sugiere que la suma debería de ser evaluable mediante un conteo doble, técnica que analizamos el sábado pasado y de la cual es imposible exagerar su utilidad.  Por lo tanto les queda para que intenten ejecutar un conteo doble en la serie de los primeros n cuadrados.

Vimos el problema del Miércoles 18 de abril, este fue un problema de la centro 2009. El problema resalta el principio de partir el problema en problemas más simples, en este caso partir la suma de interés en un montón de sumitas de forma similar y que se evalúan fácilmente. También notamos, para Sofía que no la conocía y Rodrigo que tenía un vago entendimiento, de la dinámica de cómo funciona la notación de sumatoria.

Finalmente el último problema, Jueves 19 de abril, presenta un sistema (números escritos en el pizarrón), que es modificado bajo una operación (escoger dos números, y escribir su diferencia). La solución del problema parte de un principio de este tipo de problemas, encontrar una invariante. Dado un sistema y una operación, conviene buscar alguna característica del sistema que permanece invariante conforme se va aplicando la operación.  En este caso la invariante que encontramos es que la suma total de todos los números escritos en el pizarrón preserva su paridad, por lo tanto haciendo que uno de los dos casos sea imposible. Para el otro caso se encontró un método para el cual Chepito se puede marchar feliz a su casa.

Eso, en resumen, engloba nuestras clases de esta semana. Lean los links contenidos a lo largo de este resumen, y continuen trabajando sus problemas diarios. Este sábado nos ponemos de acuerdo en qué día nos juntaremos la próxima semana, quizás sean tres días, pero eso está por verse.



Saludos
Alejandro

Adjuntos:
Clase mayo 2: https://docs.google.com/open?id=0B-396FPw3zv9TkZOUmdMTzFMMzQ
Clase mayo 3: https://docs.google.com/open?id=0B-396FPw3zv9b2RLTDBtSjZMUlU
« Última Modificación: mayo 22, 2012, 02:30:56 am por AV »

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Re:Centro 2012
« Respuesta #4 : mayo 22, 2012, 02:38:23 am »
Segunda Semana
Correo enviado el siete de mayo:

Teoría Lunes 7
Saludos,

El lunes 7 nos juntamos a repasar un poco el álgebra de Colegio. No son
temas exactamente creativos o difíciles, pero en medio de una solución de
un problema frecuentemente se involucra realizar operaciones algebraicas y
aritméticas, que si no podemos hacer con velocidad, o peor todavía,
precisión, nos puede costar caro en la Olimpiada.

Les adjunto los ejercicios que trabajamos, junto con las soluciones.
Trabajen TODOS los ejercicios y luego comparen con la solución.

Letras!
   Alejandro Vargas

Adjuntos:
Problemas Álgebra: https://docs.google.com/open?id=0B-396FPw3zv9WF9GQnY4SzA0dWs
Soluciones Álgebra: https://docs.google.com/open?id=0B-396FPw3zv9OFBhQTJnQ3ktUG8

Teoría Miércoles 9
Saludos,

El día miércoles 9 se juntaron y Rafa se encargó de darles clase. La
dinámica desarrollada fue que él les presentó diversas soluciones a los
primeros problemas del Capítulo 1 del libro de Geometría de los Mexicanos.
Esta metodología apunta a que ustedes puedan contrastar las ideas que
tuvieron durante el proceso de investigar el problema, con las ideas que
utiliza la solución, y así poder evaluar si encontraron potenciales
caminos de resolución o estaban trabajando rutas sin salida, y observar el
proceso de cómo una idea se desarrolla hasta completar una solución.

Les adjunto las notas que Rodrigo nos hizo el favor de escanear, mas un
par de hojas del libro de soluciones de problemas del libro de geometría.
Las hojas las fotografíe, debido a que el escaner presenta el desagradable
efecto secundario de dejar mis libros en condiciones lejos de óptimas, por
lo que el texto presenta cierto grado de distorsión, pero nada que no se
pueda leer, simplemente hace el proceso tediosamente más largo, razón por
la cual no se los escanearé "en masa" como el otro. Lean las soluciones,
tomen nota del estilo que se emplea para exponer un proceso de solución
culminado, y sigan trabajando sus problemas del día.

Atentamente
   Alejandro

Adjuntos
Soluciones escaneadas: https://docs.google.com/open?id=0B-396FPw3zv9YkUzUnhhdUY0VTA
Soluciones del libro: https://docs.google.com/open?id=0B-396FPw3zv9bFBpUkk0YWNscUU
« Última Modificación: mayo 22, 2012, 02:54:05 am por AV »

 


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