Autor Tema: Un teorema de Cevichev pi(x)\ge ...  (Leído 855 veces)

esteban

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Un teorema de Cevichev pi(x)\ge ...
« : septiembre 11, 2011, 08:06:09 pm »
Vamos demostrar algo interesante por incisos.

Sea $\pi(x)$ la cantidad de números primos menores o iguales que el real $x$ y considere la función (introducida por Chebyshev) $\displaystyle\psi(x)=\sum_{p^a\le x}{\log p}$ donde la suma va sobre las potencias de primos (con exponete entero positivo) menores o iguale que $x$.

  • Demuestre que $\displaystyle\int_0^1{x^n(1-x)^n dx}\le\frac{1}{4^n}$
  • Demuestre que el número $e^{\psi(2n+1)}$ multiplicado por la integral del inciso anterior es un entero, entonces $\psi(2n+1)\ge 2n\log(2)$.
  • Demuestre que $\psi(x)\ge x\dfrac{\log 2}{2}$ y finalmente deduzca
    $\pi(x)\ge \dfrac{\log 2}{2}\dfrac{x}{\log x}$

 :)

 


zzz