Autor Tema: ¿Cómo sacar raíces de polinomios?  (Leído 13696 veces)

mrgomez

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¿Cómo sacar raíces de polinomios?
« : octubre 18, 2010, 06:14:52 pm »
Estaba viendo un problemita en la sección de álgebra y me topé con un polinomio de grado 4 cuyo coeficientes independiente y principal son, desafortunadamente 1. Eso reduce el numero de raices racionales a dos: +1, ó -1. Y ninguna funciona. Y por la regla de signos de Descartes, sí tengo raíces positivas. Entonces, las raíces positivas que tengo no son racionales, sino irracionales. ¿Cómo puedo sacar las raíces IRRACIONALES reales de un polinomio de grado 4? En wikipedia hay un método para sacarlas, pero llego a un punto en donde tampoco sé qué hacer y me quedo igual. No voy a poner el polinomio que estoy trabajando, porque yo quiero poner la solución en ese post  :P pero para poder hacerlo necesito saber como sacar las raíces de un polinomio de grado 4... ¿Me ayudan?

AV

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Re:¿Cómo sacar raíces de polinomios?
« Respuesta #1 : octubre 18, 2010, 09:21:51 pm »
Pues los métodos "generales" que hay, así al estilo "hacé esto y te aseguro que lo encuentras", son más apropiados para compus que para humanos, haha. Por lo que los problemas de encontrar raíces de polinomios raros se reducen al ingenio para inventarse un método que funcione con ese polinomio, y no en general.

Hay bastantes trucos conocidos, uno de los más clásicos es sumar y restar, completar lo que sea necesario para que se reduzca a un polinomio cuadrático, así como resuelves $x^4 + x^2 + 1$ diciendo que sea $y = x^2$ y ya te queda un cuadrático, sólo que por supuesto, la sustitución no será tan fácil si es un problema que está aquí, hoho.

mrgomez

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Re:¿Cómo sacar raíces de polinomios?
« Respuesta #2 : octubre 19, 2010, 01:18:19 pm »
Pues los métodos "generales" que hay, así al estilo "hacé esto y te aseguro que lo encuentras", son más apropiados para compus que para humanos, haha.
...¬_¬ cierto....
Bueno, creo que seguiré intentando. Después de todo, de eso se trata... de intentar e intentar e intentar.............. e intentar hasta que salga!  :D

AV

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Re:¿Cómo sacar raíces de polinomios?
« Respuesta #3 : octubre 19, 2010, 02:00:15 pm »
Hoho, ese es el espiritu.

Mapache

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Re:¿Cómo sacar raíces de polinomios?
« Respuesta #4 : octubre 20, 2010, 11:43:48 am »
Por cierto, Mr. Gomez, existen métodos generales (algo como la fórmula cuadrática, que resuelve todo polinomio de grado 2) para los grados 1,2,3 y 4.  Pero el matemático Niels Henrik Abel demostró que no existe una fórmula (o método) que resuelva todas las ecuaciones de quinto grado, y que emplee únicamente un número finito de operaciones algebraicas (esto es: sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, raíces y exponentes).  Posteriormente Évariste Galois hizo lo mismo para todos los grados mayores que 5.  Hay muchos otros matemáticos involucrados en la historia de esto.

herr_guti

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Re:¿Cómo sacar raíces de polinomios?
« Respuesta #5 : octubre 22, 2010, 05:18:22 pm »
Si sabe derivar, por el método de Newton puede encontrar aproximaciones bastante buenas de las raíces del polinomio. Si $P(x)$ es el polinomio, podemos calcular su derivada $P'(x)$ y si consideramos un valor inicial (un valor cercano a la raíz, por ejemplo) construimos un conjunto de valores $x_n$ con $n\geq 1$
$\displaystyle x_{n+1} = x_n - \frac{P(x_n)}{P'(x_n)}$
con la salvedad que no ocurra $P'(x_k)=0$ para algún $k$, o que la raíz que se busca tenga multiplicidad mayor o igual a 2.
$250\mathcal{D}_7^{yn} + 802\mathcal{D}_8^{st} + 100(\mathcal{T}_8^{tn} + 2\mathcal{T}_9^{tn}) + 782.8\mathcal{E}_9^{rk} + 672\mathcal{J}_9^{ns} + 672\mathcal{D}_9^{st} \leq \mathbb{G}_{1.5}^{ap} + \mathbb{N}_3^{me^2}$

mrgomez

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Re:¿Cómo sacar raíces de polinomios?
« Respuesta #6 : octubre 25, 2010, 01:28:14 pm »
Puess.....
1. No se derivar (todavía)
2. Todas las raíces del polinomio que buscaba tienen multiplicidad 2...
Pero sería interesante intentar!

Mapache

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Re:¿Cómo sacar raíces de polinomios?
« Respuesta #7 : octubre 27, 2010, 01:41:23 pm »
¿Cómo sabés que las raíces son de multiplicidad 2?
si tal fuera el caso, entonces tu polinomio de grado 4 sería un polinomio de grado 2 elevado todo al cuadrado, y eso significa que no debería ser difícil factorizarlo.

mrgomez

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Re:¿Cómo sacar raíces de polinomios?
« Respuesta #8 : octubre 27, 2010, 05:46:52 pm »
Porque ya lo resolvi.... (Problema 2 de Canadá 1998, en la sección de álgebra nivel 1)
Y bueno.... en ese momento no era tan obvio que era un polinomio de grado 2 elevado al cuadrado...

Mapache

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Re:¿Cómo sacar raíces de polinomios?
« Respuesta #9 : octubre 28, 2010, 09:07:37 am »
Si pues,  me imaginaba que ya lo habías resuelto, ya puse una solución alternativa.

mrgomez

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Re:¿Cómo sacar raíces de polinomios?
« Respuesta #10 : octubre 28, 2010, 02:10:52 pm »
Y muy buena  :o

 


zzz