Autor Tema: presentación 2, soluciones  (Leído 2442 veces)

Mapache

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presentación 2, soluciones
« : octubre 01, 2010, 09:39:41 am »
Suban aquí sus soluciones.  Preferiblemente incluir una imagen adjunta (o en el propio mensaje).
« Última Modificación: octubre 01, 2010, 10:40:12 am por Mapache »

AV

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Re:presentación 2, soluciones
« Respuesta #1 : octubre 22, 2010, 01:31:41 am »
Cita
1. Probar que $H(A,B;C,D)$ implica $H(C,D;A,B)$ mediante la exhibición de un cuadrilátero completo para la segunda tétrada, construido sobre la figura de la primera. (Referencia: pg. 21 del libro).

Supongamos que tenemos la tetrada armónica $H(A,B;C,D)$ sobre la recta $l$. Comenzamos con la construcción usual para tetradas armónicas usando el cuadrángulo $ABB'A'$, ver figura en línea sólida, y sobre esta construcción debemos montar una construcción auxiliar que demuestre $H(C,D;A,B)$, es decir que ahora $C$ y $D$ deben ser los vértices de un cuadrángulo, $A$ el punto diagonal y $B$ la intersección de la recta que pasa por los otros dos puntos diagonales con la recta $l$.

Para esto trazamos las rectas en línea punteada, y observamos que como tenemos la tetrada armónica  $H(A,B;C,D)$ y la perspectividad $(ABCD) \frac{O}{\wedge} (A'B'C'D') $ de ahí que $H(A',B';C',D')$.

Sea $O' = DC' \cdot BB'$. Por teorema de la página 21, como $H(A,B;C,D)$ entonces $H(A,B;D,C)$. Considerando la perspectividad $(ABD) \frac{O'}{\wedge} (AB'C') $,  la unicidad del cuarto armónico en $H(A,B;D,C)$ y $H(A',B';C',D')$, y finalmente como las perspectividades preservan conjugados armónicos, se concluye que $C$, $O'$ y $D'$ son colineales.

Ahora que está demostrada la concurrencia de $OB = B'B$, $CD'$ y $DC'$, haciendo la construcción con el cuadrángulo $DCC'D'$ se sigue el resultado deseado, $H(D,C;A,B)$.
« Última Modificación: octubre 22, 2010, 01:41:37 am por AV »

marliz

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Re:presentación 2, soluciones
« Respuesta #2 : octubre 25, 2010, 11:01:04 pm »
 :-[ yo no logré ver todas las perspectividades que componen la proyectividad que mapea $(A,B,C,D) $ en $(C,D,A,B)$pero ya que el problema dice:

Probar que $H(A,B;C,D) $ entonces $H(C,D;A,B)$ mediante  la exhibición de un cuadrángulo  completo para la segunda tetrada, construido sobre la figura de la primera. Utilizando como base la pág.21 del libro.

Entonces sobre la figura que muestra  $H(A,B;C,D) $ ya que queremos mostrar $H(C,D;A,B)$ sabemos que $CD$ será uno de los vértices del cuadrángulo completo que queremos encontrar, entonces necesitamos al menos tres rectas que pasen por C y por D; entonces dibujamos $DS, PC$, nombrando al punto de intersección de éstas rectas $M$, ahora trazando la recta que pasa por los puntos $B,N,M$ encontramos un punto $X'$que corta el segmento $SP$. Ahora bien, considerando el cuadrángulo completo $ CDPS $ tenemos que $A=SP.DC, M=PC.SD, N=SC.DP$ siendo éstos sus puntos diagonales. Y tenemos que la recta $XN$ corta al segmento $CD$ en $B$.  De donde $H(C,D;A,B)$.
« Última Modificación: octubre 25, 2010, 11:17:58 pm por marliz »

AV

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Re:presentación 2, soluciones
« Respuesta #3 : octubre 26, 2010, 02:55:50 pm »
:-[ yo no logré ver todas las perspectividades que componen la proyectividad que mapea $(A,B,C,D) $ en $(C,D,A,B)$pero ya que el problema dice:

Probar que $H(A,B;C,D) $ entonces $H(C,D;A,B)$ mediante  la exhibición de un cuadrángulo  completo para la segunda tetrada, construido sobre la figura de la primera. Utilizando como base la pág.21 del libro.

Entonces sobre la figura que muestra  $H(A,B;C,D) $ ya que queremos mostrar $H(C,D;A,B)$ sabemos que $CD$ será uno de los vértices del cuadrángulo completo que queremos encontrar, entonces necesitamos al menos tres rectas que pasen por C y por D; entonces dibujamos $DS, PC$, nombrando al punto de intersección de éstas rectas $M$, ahora trazando la recta que pasa por los puntos $B,N,M$ encontramos un punto $X'$que corta el segmento $SP$. Ahora bien, considerando el cuadrángulo completo $ CDPS $ tenemos que $A=SP.DC, M=PC.SD, N=SC.DP$ siendo éstos sus puntos diagonales. Y tenemos que la recta $XN$ corta al segmento $CD$ en $B$.  De donde $H(C,D;A,B)$.

Cómo aseguras que $B,N,M$  están alineados? Esto no se sigue de la construcción, y considero que es el "núcleo" de la demostración.
En cuanto a la proyectividad de la que habló Mapache, pues te podrías recordar de los inicios de la clase cuando mapeabamos cualesquiera tres puntos colineales en cualquier otro trío, e intentar hacer algo similar. Agarrás tres, los convertís en los que quieres, y miras que le pasa al cuarto punto.
« Última Modificación: octubre 26, 2010, 09:47:31 pm por AV »

glego

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Re:presentación 2, soluciones
« Respuesta #4 : octubre 26, 2010, 09:38:23 pm »
Problema 3.
Demostrar el teorema de Desargues haciendo uso del teorema fundamental de la geometría proyectiva.
« Última Modificación: noviembre 03, 2010, 09:48:17 pm por glego »

marliz

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Re:presentación 2, soluciones
« Respuesta #5 : octubre 26, 2010, 11:00:52 pm »
jiji si es cierto, ya no te lo enseñe escrito hoho-ho ; bueno,  ehmmm creo que ya vi dos triangulos en perspectiva axial que me sirven usando Desargues para demostrar que los puntos son colineales y que por ende B sería el cuarto armónico, pero no lo he escrito apropiadamente, lo subo mañana... probaré lo de los mapeos... Gracias!!

AV

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Re:presentación 2, soluciones
« Respuesta #6 : octubre 26, 2010, 11:28:18 pm »
jiji si es cierto, ya no te lo enseñe escrito hoho-ho ; bueno,  ehmmm creo que ya vi dos triangulos en perspectiva axial que me sirven usando Desargues para demostrar que los puntos son colineales y que por ende B sería el cuarto armónico, pero no lo he escrito apropiadamente, lo subo mañana... probaré lo de los mapeos... Gracias!!

No te preocupes, yo tampoco te enseñé la mía, haha. Si querés un consejo, no necesitás el poder de Desargues, hay por ahí una perspectividad con la que puedes argumentar lo que necesitas, algo así como la perspectividad que yo usé para argumentar la concurrencia que necesitaba en mi solución.

esteban

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Re:presentación 2, soluciones
« Respuesta #7 : noviembre 04, 2010, 09:49:17 pm »
Bueno yo hice el de enmedio.
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« Última Modificación: noviembre 04, 2010, 09:54:25 pm por esteban »

 


zzz