Problema

Nivel de dificultad:
  • 8.5

Su valoración: No ha valorado al problema en un nivel de dificultad.
Hallar todas las parejas de naturales $(a,b)$ tales que:

1) $a^{b}=b^{a}$

2) $a^{b}=b^{a^2}$

Autor Tema: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.  (Leído 2028 veces)

Mapache

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010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« : agosto 10, 2008, 10:26:50 am »
La primera ecuación me la propuso Pedro cuando aún era alumno.  Resulta estar íntimamente ligada con cierta investigación que estaba realizando el amigo petroff en aquella época (y tal vez siga hoy). La solución que hallé, como casi todas mis soluciones, emplea inducción.

La segunda es posiblemente más complicada y la encontré en un libro mucho antes de que supiera que las olimpiadas internacionales existían (todavía estaba en el colegio, fue el día que me dijeron: "Bonilla, mañana vas a una competencia que se llama olimpiada nacional de ciencias, aquí te tengo unos libritos para ver si te da tiempo de aprender algo nuevo" - mi maestro (sólo le faltó el jojo al final)). Pude hallar todas las soluciones pero, en aquella época, la falta de herramientas matemáticas me hizo imposible demostrar que en efecto las había hallado todas.

Problemas:
Hallar todas las parejas de naturales $(a,b)$ tales que:

1) $a^{b}=b^{a}$

2) $a^{b}=b^{a^2}$

De verdad les recomiendo intentar estos problemas, son muy edificadores...

« Última Modificación: agosto 24, 2011, 06:29:15 pm por Mapache »

korean_markus

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #1 : agosto 10, 2008, 07:13:13 pm »
jaja, io creo que para el uno tengo la solución.
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korean_markus

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #2 : agosto 10, 2008, 07:13:51 pm »
como que mucho redondeo, va?

jojo

AV

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #3 : agosto 10, 2008, 08:18:04 pm »
jaja, io creo que para el uno tengo la solución.
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« Última Modificación: agosto 11, 2008, 02:17:19 am por AV »

Mapache

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #4 : agosto 11, 2008, 04:07:23 pm »
analizálo con calma Marcos...

esteban

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #5 : agosto 27, 2008, 09:37:01 pm »
Este es el esquema de una solución que bien podria ser una exageración.

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Si alguien le interesan más detalles que me escriba un MP.


--
que onda con el latex???? no aparece

--
ya aparecio viteh

:)
« Última Modificación: septiembre 02, 2008, 09:13:42 pm por esteban »

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #6 : agosto 28, 2008, 09:09:21 pm »
Un MP? Un maaaaldito post?
Exacto viteh

AV

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #7 : agosto 28, 2008, 11:49:25 pm »
Este es el esquema de una solución que bien podria ser una exageración.

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Si alguien le interesan más detalles que me escriba un MP.



que onda con el latex???? no aparece


:)
Parece que las modificaciones que le hice a Latex Render lo hicieron algo inestable, y no me puedo desaparecer por unos días sin que se desconfigure.
Veré eso mañana.
« Última Modificación: agosto 28, 2008, 11:53:41 pm por AV »

esteban

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #8 : agosto 29, 2008, 09:03:53 pm »
no, un ma pedro

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #9 : agosto 30, 2008, 08:43:37 pm »
ME
Exacto viteh

AV

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #10 : septiembre 02, 2008, 07:17:07 pm »
otra vez desaparecio el malvado latex!


 ???

Espacialo!
Ya lo arregló una vez...

esteban

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #11 : septiembre 02, 2008, 09:14:00 pm »
vos que mañoso ese latex!

esteban

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #12 : octubre 11, 2008, 03:57:04 pm »
una aclaracion para todos los alumnos, mi esquema de solucion podria ser el esquema de la solucion mas complicada y poco practica para este problema, las otras soluciones que creo mapache y yo conocemos son mas sencillas, mas limpias y mas faciles.... sigan intentando

RaFa

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #13 : noviembre 29, 2008, 08:07:51 pm »
esta es la "tareota"!
mira mapache!
son logicos cuando a=b
pero que pasa con 2^4=4^2 ?
pues me puse a ver que
a²=2a
a=2
deberiamos encontrar numeros con esa forma, pero solo existe el 2 y ese numero viene acompañado del 4.
podemos probar con a³=3a?
a tendria que ser la raiz cuadrada de 3, pero no pertenece a los N.
a^n=na?
a^(n-1)=a
esto es cierto para a=1
no se de que sirve eso que escribi, pero lo pense jeje
pues creo que si a<b para que se cumpla la cosa que a^b=b^a, a debe dividir a b
entonces b debe ser una potencia de a.
tenemos ahora a^e=b
e tambien debe ser una potencia de a. (no estoy seguro si igual a b)
Debemos agrupar a en conjuntos de b elementos, y agrupar b en conjuntos de a elementos.
por ahi va mi idea, y estoy pensando que la cantidad de parejas es infinito + 1 jojo
porque tenes cuando todos son iguales, incluyendo 0^0 + 2 y 4 XD
ahi ojala me entiendan, no lo doy aun por terminado.
PD: Me da weva usar Latex

Es mejor intentar y fracasar que nunca haberlo intentado.


Mapache

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Re: 010 - Dos ecuaciones para el recuerdo.
« Respuesta #14 : noviembre 30, 2008, 11:24:32 pm »
Rafa... solo te advierto que si posteás una solución será borrada... en otras noticias... ibas más o menos bien al decir que "b" divide a "a", pero luego brincaste místicamente a que debía ser una potencia de "a"... hay parchás eso... pero es fructífera esa manera de pensar... seguí adelante...

 


zzz