Problema

Nivel de dificultad:
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a Determine la geometría con el menor número posible de puntos en la cuál se cumplen los tres axiomas que están abajo. Demuestre que cualquier geometría con ese número de puntos es idéntica a la que halló.

b Clasifique convenientemente todas las geometrías en las cuáles se cumplen los primeros dos axiomas pero el tercero no.

(Se confía en que el lector sabrá interpretar cuándo dos geometrías son idénticas y sabrá tomar adecuadamente la frase "clasifique convenientemente".)

Autor Tema: Construcción de geometrías con axiomas dados  (Leído 833 veces)

esteban

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Construcción de geometrías con axiomas dados
« : agosto 13, 2010, 02:02:46 pm »
Para uso de este tema, una geometría es una trío $(\mathcal{P},\mathcal{L},\mathcal{R})$ de dos conjuntos y una relación $\mathcal{R}\subset\mathcal{P}\times\mathcal{L}$. A los elementos de $\mathcal{P}$ les llamamos puntos, a los elementos de $\mathcal{L}$ les llamamos líneas (rectas si uno quiere) y escribimos la relación $(p,l)\in\mathcal{R}$ como "el punto $p$ está en la línea $l$" (o como cualquier otra cosa que ser parezca).

Además, las líneas $n, m\in\mathcal{L}$ son paralelas si y sólo sí una de las siguientes dos condiciones es satisfecha: $n=m$ o no existe un punto $p\in\mathcal{P}$ en $m$ y en $n$.

Considere las siguientes tres propiedades que para una geometría.
- AXIOMA 1: Dados dos puntos distintos, existe una única linea que pasa por ambos.

En una geometría donde se cumple el axioma 1, dos rectas no paralelas se interesctan en exactamente un punto.

- AXIOMA 2: Dado un punto y una recta, existe una única recta paralela a la recta dada que pasa por el punto.

En una geometría donde se cumple el axioma 2, la relación de paralelismo es de equivalencia.

Para una geometría donde se cumple el axioma 1:
- AXIOMA 3: Existen tres puntos distintos $A, B$ y $C$ tales que el punto $C$ no está en la recta que pasa por $A$ y $B$.

Bueno a dibujar puéj. :)
« Última Modificación: agosto 13, 2010, 02:07:16 pm por esteban »

 


zzz