Problema

Nivel de dificultad:
  • 5.5

Su valoración: No ha valorado al problema en un nivel de dificultad.
a] Demuestre que la sucesión de los números de la forma $\dfrac{\pi(n)}{n}$ converge, donde $\pi(n)$ es la cantidad de primos no mayores que $n$.

b] ¿A qué valor converge?

Autor Tema: La proporción de primos a enteros es cero.  (Leído 836 veces)

esteban

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La proporción de primos a enteros es cero.
« : mayo 21, 2010, 12:09:49 am »
Relacionado con este otro

                          http://foro.mate304.org/index.php?topic=1168.msg8612#new

:)

esteban

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Re:La proporción de primos a enteros es cero.
« Respuesta #1 : agosto 09, 2011, 11:21:40 pm »
Ahorita que pongo la solución verán que está sobrevalorada la dificultad. Hay que entrarle al natural, fresco como el otro lado de la almohada. Esta es la solución elemental clásica.

Spoiler (click to show/hide)
:)

Por cierto tomando a $n=p_m$ como el $m$-ésimo número primo y dándole vuelta a la fracción se obtiene el resultado equivalente, que $\dfrac{p_m}{m}$ tiende a infinito con $m$.
« Última Modificación: agosto 16, 2011, 01:07:56 am por esteban »

esteban

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Re:La proporción de primos a enteros es cero.
« Respuesta #2 : agosto 30, 2011, 10:17:44 pm »
Para cada entero positivo $n$ sea $\rho(n)$ la cantidad de potencias de primos (exponente entero positivo) menores o iguales que $n$. Se puede usar un argumento muy parecido para demostrar que $\displaystyle\lim_{n}{\frac{\rho(n)}{n}}=0$. Es decir se construye alguna función $r(n)$ más sencilla tal que $\rho(n)\le Ar(n)+B_n$ y luego se usa alguna estimación sobre funciones aritméticas más sencillas para concluir. Por ejemplo $r(n)$ podría ser la cantidad de números entre $1$ y $n$ que no son divisbles por dos primos distintos de entre algún conjunto de primos bien seleccionado, digamos los primos que dividen a $n$.

 :)

 


zzz