Problema Domingo 20 de Enero

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Un problema intuitivo, pero interesante de argumentar.

[lester guerra]

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Digamos que les ponemos un bigote postizo a las muchachas para que parezcan muchachos, entonces los que si son muchachos no le dan regalo a nadie y la cantidad es par; luego una por una se van quitando los bigotes. Vamos a pretender que están obligadas a dar regalo hasta quitarse el bigote.

Una muchacha disfrazada nos da 3 casos:: puede estar entre 2 muchachas, entre 2 muchachos o entre una muchacha y un muchacho.

Si esta entre 2 muchachas no le correspondía dar regalo y no afectará el número.

Si está entre dos muchachos, a ambos se les cambiara la cantidad de muchachas que los rodean, por que será aumentada en 1 (hasta el momento estaban rodeados por 1 muchacha o por ninguna ya que es imposible que los rodearan 2). Si no estaban obligados a dar regalo ahora lo están, y si estaban obligados ya no lo están; La cantidad de regalos n cambia por n (+,-)1 (+,-)1= (n-2, n, n+2) lo que no altera la paridad.

Por último si esta entre un muchacho y una muchacha, como pretendía ser hombre debía dar una regalo a su vecina, por lo que la cantidad de regalos desciende en 1, y como cambio el número de muchachas que rodeaban a su vecino varón, la cantidad de regalos cambia en 1 (Por lo mismo del caso anterior) y la cantidad cambia en 1. El número de regalos n ahora puede es n -1 (+,-)1 = (n-2,n) que no afecta la paridad.

Como la paridad no se altera nunca y el número de regalos era desde el comienzo par, el problema queda demostrado.

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Haha, bigotes. Buen uso de la técnica para poner elegante la demostración.

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Que bonita solucion lester guerra.

Otra solucion

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Asumimos $n\ge 2$. Enumeremos a las personas $1,2,3, ..., n$ y definamos $a_i$ como 0 si la persona i es una mujer y como 1 si la persona i es un hombre. Ademas $a_0=a_n$ y $a_{n+1}=a_1$. Note que la expresion $a_2|a_3-a_1|$ vale 1 ssi la persona 2 es hombre y entrega un regalo. La cantidad de regalos repartidos es entonces
$$C=a_1|a_2-a_n|+a_2|a_3-a_1|+...+a_{n-1}|a_n-a_{n-2}|+a_n|a_1-a_{n-1}|$$
Nos interesa $C \mod 2$ y sabemos $|x|\equiv x \mod 2$ entonces
$$C\equiv a_1(a_2-a_n)+a_2(a_3-a_1)+...+a_{n-1}(a_n-a_{n-2})+a_n(a_1-a_{n-1})\equiv 0 \mod 2$$
listo.